Tom blok
Flere teoretiske virkningsgrader
Gul streg

Om Parents´ vandmølleteori fra 1704

Desværre er Parents´ matematisk-fysiske fremstilling fra 1704 meget rodet, men resultatet er smukt.

Den del af flodens effekt som underfaldshjulet modtager udgør 4/27 af flodens effekt (effet naturelle).

Allerede i 1700-tallet var man klar over at dette teoretiske tal var for lille, men det medførte at Det franske Akademi interesserede sig for vandhjulets virkningsgrad. Man udskrev en prisopgave.

I det følgende vil vi udlede Parents´ talfaktor; men benytte en lidt anden metode.

Hvis vandhjulet står stille i floden så påvirkes skovlen med en stor kraft. Vi antager først at hjulet kun har een skovl.

Hvis hjulet ikke belastes så vil dets periferihastighed blive lig med flodhastigheden.

I begge tilfælde bliver den tilførte effekt lig med nul, da F gange v bliver nul. I det ene tilfælde er kraften stor og hastigheden nul og i det andet tilfælde er det omvendte tilfældet. Mellem disse to yderpunkter må effekten være maksimal.


Dette vandløftningshjul er en fysisk model af et virkeligt hjul.
Diameteren er lig med løftehøjden.
Bægrene sidder uendeligt tæt, det samlede rumfang er lig med V.
Vandføringen Q er lig med f gange V. Frekvensen f er antal omdrejninger i sekundet. F.eks. 0.1 omdrejninger pr sekund.

Trykket på skovlene findes ud fra det dynamiske tryk. Udtrykket går tilbage til Newton og er kun delvis rigtigt. Forsøg med vandmøller giver et lidt andet resultat.



Nomenklatur

A arealet af en skovl m2
vinklen med vandret radianer
D diameter af hjul m
f frekvens af hjul Hz
F kraft på skovlblad N
G tyngdeaccelerationen m/s2
moment mN
vægt pr. længdeenhed N/m
H flodens faldhøjde m
vinkelhastighed 1/s
p trykket på skovlbladet N/m2
P effekten W
massefylde kg/m3
Q vandføringen m3/s
R radius af hjulet m
v1 overfladehastighed af floden m/s
v2 periferihastighed af hjul m/s
V bægernes samlede rumfang m3
W arbejde Nm
tyngdepunktsafstand m
hastighedsforholdet rent tal
v relativ hastighed m/s

Vi begynder med den relative hastighed, som er lig med forskellen mellem flodens og hjulets hastigheder.

Trykket eller rettere kraften på skovlbladet bliver i så fald:



Effekten får vi ved at multiplicere med hjulets periferihastighed





Uagtet at hjulet drejer er problemet af statisk natur. Det aktive moment skal derfor holde ligevægt med det passive moment. Det passive moment hidrører fra de fyldte bægre.

Først indfører vi hastighedsforholdet:





Herefter sætter vi det aktive moment lig med det passive moment:

hvor


hvor


hvor




indfører vi den dynamiske trykhøjde



får man:





hvor den sidste brøk er forholdet mellem indput og output, altså virkningsgraden. Effekterne i henholdsvis tæller og nævner er lig med "løftehøjden x vandføringen x massefylden x tyngdeaccelerationen". Dette ses lettest ved at indsætte dimensionerne for de enkelte led.

Udtrykket på venstre side er virkningsgraden som funktion af hastighedsforholdet.





Indsætter vi den værdi af hastighedsforholdet som giver den største effekt får vi:



Det var dette tal Parent kom frem til for tre hundrede år siden. Han blev berømt for netop denne "opdagelse". At man ret hurtigt fandt ud af at udtrykket ikke duede i praksis gjorde ikke så meget….. matematikken bag tallet var smuk.

Formlen viser os hvorledes virkningsgraden varierer med hastighedsforholdet og bemærker vi ; kun med hastighedsforholdet.

Hvis vi ganger ud så kommer vi frem til en ligning af tredje grad.



Der er en trykfejl i den sidste ligning….find den.

Hvis vi differentierer dette udtryk så får vi en ligning af anden grad.







Den første rod gælder for virkningsgradens maksimumsværdi og den anden rod for minimumsværdien som er lig med nul.

I udledningen benyttede vi os af en tyngdepunktsafstand hvis værdi ikke er present for alle.

For en hjulfælg sidder tyngdepunktet i centrum, men hvor sidder det for en halv fælg ?