Schiølers billedsamling Teori om vandløftning 3: Reagensglasset

Reagensglasset

Hvorfor bør vandløftningshjulets bægre langs periferien være slanke som reagensglas ? Enhver der har arbejdet på et laboratorium har prøvet at drikke øl af et reagensglas. Første gang man prøver det går det galt. Man hælder reagensglasset for hurtigt og indholdet rammer ikke munden. Ved næste forsøg hælder man glasset ganske langsomt og indholdet kommer ind i munden. Nomenklatur d diameter af bægeret m l længde af bæger m bægerets vinkel med vandret radianer V geometrisk rumfang m3 ½V rumfang under diagonalen m3 slankhedsforhold l/d rent tal hjulets vinkelhastighed 1/s vandføringen m3/s A arealet af vandets overflade m2 A´ den projicerede overflade m2 Vi ser først på en tænkt tilstand. Hvis vandet når helt op til hjulets nav, så vil det medføre at bægeret er helt fyldt med vand. Det svarer til at vinkelen = 0. (På tegningen er bægeret ikke fyldt op.) Opgaven går nu ud på at bestemme vandføringen som er en funktion af hjulets vinkelhastighed og vinklen . Altså : Af tegningen ser vi at den projicerede overflade er elliptisk. Den har arealet : bemærk: = Det er en kendt sag at vandføringen Q i et rør er lig med rørets tværsnitsareal gange vandets hastighed. Lidt sværere er det at se at vandføringen i bægeret er lig med bægerets projicerede areal gange dette areals tyngdepunktshastighed. dette er tyngdepunktets hastighed Herefter bliver vandføringen: hvor: hvor: Denne formel for bægerets vandføring Q gælder indtil væskeoverfladen når ned til bægerets diagonal. Pas på . Vandføringen Q stiger altså voldsomt når vinklen forøges. Den stiger selvfølgelig også med en forøgelse af vinkelhastigheden. Her vil vi kontrollere formlen ved at beregne det rumfang som gemmer sig under bægerets "diagonal". Det rumfang der forlader reagensglasset kan beregnes ved at finde det bestemte integral af vandføringen. Reagensglassets rumfang er lig med V. I begyndelsen antog vi at bægeret var fyldt til randen. Det krævede at vi måtte antage at flodens vand nåede op til hjulets nav. Vi har også fundet ud af at halvdelen af bægerets indhold er tømt ud, når hjulet er blevet drejet en vinkel på 80 grader. Det hele bliver nu en lille smule mere indviklet. I teorien bliver bægeret aldrig helt fyldt. Hvis vi fra den førnævnte udgangsstilling drejer hjulet 90 grader baglæs, så ligger bægeret vandret. Her er det helt fyldt med vand fordi bægeret er dækket med vand. Drejer vi nu hjulet 10 grader fremad så vil bægeret være fyldt indtil "diagonalen". Eller med andre ord bægeret vil kun være halv fyldt. Vore beregninger vil være værdiløse, for vi gik ud fra at bægeret var fyldt til toppen. For vort vandhjul er beregningerne af vandføringen Q uden værdi. Men vor beregning af den hældning, som falder sammen med diagonalen er værdifuld. Når bægeret hælder ti grader med vandret, så er det halvt fyldt. Når det endnu mangler ti grader før toppen så begynder indholdet at strømme ud. I teorien er der intet vandspild (eller tab) på vejen fra minus 80 grader til plus 80 grader. Den tilsvarende højde kalder vi den teoretiske løftehøjde. Den er altid mindre end hjulets diameter. Man kan heraf slutte at slankhedsforholdet l/d skal være så stort som muligt. På den anden side kan det blive for stort. Slankhedsforholdet for de "bægre" der er fastgjort til vandløftningshjulet på Experimentariums "Store vandhjul" er for slanke. "Rørene" er så slanke at det kniber for vandet at komme ind i bægeret. Den indespærrede luftmasse kan ikke nå at slippe ud.  Næste kapitel: Begrebet teoretiske virkningsgrader